שיחה:אינפיניטסימל

הגדרה

לדעתי, התארים "הקטן ביותר", "קטן מכל גודל חיובי אחר" אינם נכונים, ויש להגדיר "גדל שהוא קטן ככל שנרצה".
כעקרון, זהו משג מפשט וקשה להגדרה. כשהגדירו אותו לפני מאות שנים לא הקפידו על דקדוק מתמטי, ואמנם נתגלו סתירות בתורתם. היום משתמשים במשג הגבול בהקשר זה. כלומר: בוחרים סימן עבור מספר קטן ושרירותי, ורואים מה קורה כשהמספר הולך וקטן. ישנן גם הגדרות מסודרות במתמטיקה המודרנית למשג האינפיניטסימל, אך הן מסובכות מכדי להופיע במלון. כחלון (שיחה) 00:41, 25 במרץ 2013 (IST)

אני מודע לכל זה, אך לפי מה שאני יודע, כשהגדירו אותו לפני אלפי שנים הגדירו 'אינפיניטסימלים', כ"גדלים הקטנים מכל מספר ממשי אך גדולים מאפס".
חלק גדול מהשימוש במילה 'אינפיניטסימל' הוא הוויכוח על קיומם ומקומם במתמטיקה המודרנית.

בהוכחת גבולות משתמשים בניסוח פרקטי שלא משקף את המושג אלא משתמש ברעיון, לכן מילולית השימוש "גדל שהוא קטן ככל שנרצה" בגבולות הוא "גודל אינפיניטסימלי" ולא אותו "יצור מתמטי" הנקרא אינפיניטסימל.

לגבי "הקטן ביותר" זה תאר מתמטי בהחלט, הפונקציה min היא פונקציה מקובלת ואף משמשת רבות בכלל ובחשבון אינפיניטסימלי בפרט, פעמים רבות ה-δ מגדרת כ"הקטנה ביותר" בין שני גדלים, וכו'-- riel1204$\land$ - (שִׂיחָה • תְּרוּמָה) - 13:42, 29 במרץ 2013 (IDT)

יתכן שאתה צודק. אם למלה היתה משמעות אחרת כשהוגדרה (ע"י ליבניץ/ניוטון, אני מניח) צריך לצין אותה. כששאלתי אנשים אצלנו במחלקה (אני סטודנט למתמטיקה בויצמן) הם נעו בכסא באי־נוחות ואמרו שזה מנח ישן, וכיום זו אינה הדרך להגדרה.

למרות זאת ארצה לשנות את ההגדרה שבערך.

התאר "הקטן ביותר בקבוצה" הוא הגיוני רק עבור קבוצות מסוימות. אפשר לומר "הקטן ביותר מבין שני גדלים" בדרך־כלל, אבל לא קים "גדל חיובי קטן ביותר" מבין המספרים. שכן כל גדל חיובי שתתן לי, אוכל לכפל בחצי ולקבל גדל חיובי קטן ממנו. התסכים? כחלון (שיחה) 14:16, 29 במרץ 2013 (IDT)

ודאי שאני מסכים, לכן ההגדרה או המושג אינם תופסים חלק אמיתי במתמטיקה כיום. מנח לא "ישן", אלא היסטורי . אבל זו ההגדרה.
מילולית, לפחות ע"פ המקורות שמצאתי, זה מתייחס לאיבר ה"אחרון" בסדרה אנסופית (יורדת), infini-th "ה-אינסופית" בלטינית, כלומר הקטן ביותר ולא האינפימום, כמובן ש"הקטן ביותר" מוגדר רק לקבוצות סופיות ושיש כאן "כשל" שלא מתקבל על הדעת במתמטיקה של ימינו, ולכן הוא לא בשימוש.
אתה הסטודנט למתמטיקה מבינינו, אז תקן אותי אם אני תועה, אבל מתי שמעת (לא באנליזה הלא סטנדרטית שאין לי בה שום מושג) משהו אומר "ניקח אינפיניטסימל", "אינפיניטסימל בריבוע" או "אפסילון שווה אינפיניטסימל"? זה הרי שגוי מיסודו, והדבר היחיד הקרוב שבשימוש זה "גודל אינפיניטסימלי" כלומר גודל קטן מעבר ליכולת המדידה, או משתנים (כגון אפסילון) שבאופן מלאכותי מחקים את ה"אינפיניטסימל" ע"י כך שמציבים בהם ערכים "קטנים כרצוננו".
ניסיתי לשפר את הערך, ע"פ מה שעלה בשיחה, מה דעתך?-- riel1204$\land$ - (שִׂיחָה • תְּרוּמָה) - 17:40, 12 במאי 2013 (IDT)

לטעמי טוב, תקנתי רק זוטות. ראיתי הגדרה רשמית של משג זה דוקא באלגברה (באמצעות חוגי מנה של פולינומים). אצלנו לוקחים "אפסילון קטן כרצוננו", ובהגדרת אסכמת בתאר הראשון דברנו על dx כאל "אינפיניטסימלי". מדידות - ודאי שאין אצלנו, שהלא אין לנו מגבלות פיסיות בתחום... בקצור - טוב בעיני, ואולי כדאי לבקש הסכמה מעוזי וישנה שבויקיפדיה, או מתמטיקאי בכיר אחר. כחלון (שיחה) 22:49, 28 במאי 2013 (IDT)